	
\documentclass{article} % 文档类别: article, report, book, letter, 等等
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\title{椭圆曲线判别式}
\author{朱正路}
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\lstset{
	language=Python,
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\begin{document}

	\maketitle % 创建标题页
	
	\section{引言}
	
	椭圆曲线的判别式计算方法。
	\section{椭圆曲线判别式的计算方法}
	
椭圆曲线的判别式，是基于如下的认知，椭圆曲线什么时候出现重根，就是判别式来决定的。椭圆曲线什么时候出现重根呢？什么叫重根？重根是指重复的因式分解。多项式出现重复的因式分解的充分必要条件是，该多项式的导数，和多项式有公共根。
	
	首先证明多项式出现重复的因式分解的充分必要条件是，该多项式的导数，和多项式有公共根。
	
	接着把这项证明结果应用在椭圆曲线上，从而获取a和b的对应关系，从而获得椭圆曲线判别式。

	取重复根的定义，
	
	\begin{equation}
	f(x) = (x - x_{1})^k(x-x_{2})     
\end{equation}

	这个公式里面，\(x_{1}\)是一个重根，\(x_{2}\)是一个单根。重根是指有多个重复的因式分解的系数。单根是因式分解的时候只有1个。
	
	这里 \(k \geq 2\)
	
	对这个公式求导数
	
\begin{equation}
	\begin{split}
		f'(x) &= k(x - x_{1})^{k-1}(x - x_{2}) + (x - x_{1})^k \\
		&= k(x - x_{1})^{k-1}(x - x_{3})
	\end{split}
\end{equation}

	这个等式再次证明有重复根的充分必要条件是导数也有公共的根，这里公共的根是\(x_{1}\)
	
	现在考虑椭圆方程，
	\begin{equation}
	x^3 + ax + b = (x - x_{1})^2(x-x_{2})     
\end{equation}	
	\begin{equation}
	(x^3 + ax + b)' = 3(x - x_{1})(x-x_{3})     
\end{equation}
	下面公式里左边求导出现\(3x^2\)，所以右边要补一个系数3.
	这两个因式分解中，有一个公共根，就是\(x_{1}\)
	
	求解这两个方程，可以得到
	\(4a^3+27b^2 = 0\)
	
	这个就是判别式的来源了。
	
\end{document}

